Macierze Wyznaczniki Rozwinięcie Laplace'a

Wyznaczniki macierzy stopni 2 i 3

Obliczając wyznaczniki macierzy stopni \( 2 \) i \( 3 \) możemy, tak jak w przypadku wyznaczników wszystkich innych stopni, zastosować rozwinięcie Laplace'a względem dowolnie wybranego wiersza lub kolumny macierzy, jednak w przypadku tych dwóch szczególnych stopni istnieją prostsze metody obliczania wyznaczników.

Do obliczania wyznaczników macierzy stopnia \( 2 \) stosujemy regułę:

\( \mathrm{det}\left( \begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array} \right)=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}. \)

Przykład 1:

Obliczymy wyznacznik:

\( \mathrm{det}\left(\begin{array}{cc}1&-2\\3&-1\end{array} \right)=1\cdot (-1)-(-2)\cdot 3=-1-(-6)=-1+6=5. \)

Do obliczania wyznaczników macierzy stopnia \( 3 \) stosuje się tzw. metodę Sarrusa, która polega na dopisaniu pod macierzą pierwszego i drugiego wiersza, a następnie obliczeniu sum iloczynów elementów wzdłuż linii kropkowanych i odjęciu sum iloczynów elementów wzdłuż linii ciągłych:

\( \mathrm{det}\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&&a_{12}&&a_{13}\\&\ddots&&\diagup&\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}\\&\ddots\diagup&&\ddots\diagup&\\a_{31}&&a_{32}&&a_{33}\end{array}\right)\\ \hspace{12mm}\begin{array}{ccccc}&\ddots\diagup&&\ddots\diagup&\\a_{11}&&a_{12}&&a_{13}\\&\diagup&&\ddots&\\a_{21}&&a_{22}&&a_{23}\end{array} \)

Trzeba przy tym zapamiętać, że metodę Sarrusa stosujemy tylko do obliczania wyznaczników macierzy stopnia \( 3 \).

Przykład 2:

Obliczymy wyznacznik macierzy

\( A=\left(\begin{array}{rrr}i&1&-2\\0&2&-i\\3&-i&-1\end{array} \right). \)

Zastosujemy omówioną wyżej metodę Sarrusa. Mamy:

\( \mathrm{det}A=\mathrm{det}\left(\begin{array}{rrr}i&1&-2\\0&2&-i\\3&-i&-1\end{array} \right)=\\ \hspace{32mm} \begin{array}{rrr}i&\,1&-2\\0&\,2&-i\end{array} \)

\( =(i\cdot 2 \cdot (-1)+0\cdot (-i)\cdot (-2)+3\cdot 1\cdot (-i))-((-2)\cdot 2\cdot 3+(-i)\cdot (-i)\cdot i+ (-1)\cdot 1\cdot 0)= \)

\( =(-2i+0-3i)-(-12-i+0)=12-4i. \)

Alternatywną wersją metody Sarrusa jest dopisanie do macierzy, której wyznacznik należy wyliczyć, zamiast pierwszego i drugiego wiersza, pierwszej i drugiej kolumny danej macierzy. Dalej metoda postępowania jest analogiczna.

Przykład 3:

Obliczymy wyznacznik macierzy

\( B=\left(\begin{array}{rrr}2&-6&3\\-1&0&4\\1&5&-2\end{array}\right). \)

Mamy:

\( \mathrm{det}B=\mathrm{det}\left(\begin{array}{rrr}2&-6&3\\-1&0&4\\1&5&-2\end{array}\right)\begin{array}{rr}2&-6\\-1&0\\1&5\end{array}= \)

\( =(2\cdot 0 \cdot (-2)+(-6)\cdot 4\cdot 1+3\cdot (-1)\cdot 5)-(3\cdot 0\cdot 1+2\cdot 4\cdot 5+(-6)\cdot (-1)\cdot (-2))= \)

\( =(-24-15)-(40-12)=-67. \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Wyznaczniki macierzy stopni 2 i 3

Przykład 1:

Przykład 2:

Przykład 3: